<div class='quotetop'>ZITAT(derrabe1985 @ 23.07.2007 - 10:42 ) [snapback]1047240[/snapback]</div>
😀
<div class='quotetop'>ZITAT</div>
Versuch der Erklärung der Binomialverteilung (bitte notfalls überspringen):
k Gewehre treffen, wenn man nur diese k betrachtet ist die Wahrscheinlichkeit dafür (1/2)^k.
Gleichzeitig treffen aber (n-k) Gewehre (also der Rest) nicht, dafür ist die W. für sich betrachtet (1/2)^(n-k).
Multipliziert man jetzt die beiden hat man die Wahrscheinlichkeit dafür dass k Gewehre treffen und gleichzeitig (n-k) Gewehre nicht, man hat aber noch außer Acht gelassen dass die k Treffer nicht unbedingt die ersten k Schüsse waren sondern dass die k Treffer über alle n Schüsse verteilt sein können.
Um jetzt diese k Treffer auf die n Schüsse zu "verteilen" gibt es (n k) Möglichkeiten. (n k) steht jetzt doof da, man schreibt das n eigentlich über dem k wie bei einem Spaltenvektor. (n k) spricht man "n über k" oder "k aus n" und das heißt Binomialkoeffizient.
(n k) = n! / (k!*(n-k)!)
Das Ausrufezeichen ist die Fakultät. n! = 1*2*3*4*...*(n-1)*n.
Dass (n k) genau die Anzahl der möglichen Anordnungen der Treffer bei n Schüssen kann man vielleicht so einsehen:
Es gibt n! Möglichkeiten, n verschiedene Elemente in einer Reihe anzuordnen. Jetzt haben wir aber nicht n verschiedene Elemente sondern nur k "Treffer" und (n-k) "Nicht-Treffer", also nur zwei "Klassen" von Elementen die wir anordnen wollen. Wenn man sich jetzt eine beliebige Anordnung von Treffern vorstellt und sich die Nicht-Treffer wegdenkt kann man die Treffer untereinander umordnen ohne dass sich etwas ändert da wir ja zwei Treffer nicht unterscheiden können. Es gibt k! Möglichkeiten, die Treffer anzuordnen, die uns aber wurscht sind weil wir die Treffer nicht von einander unterscheiden. Ebenso gibt es (n-k)! Möglichkeiten die Nicht-Treffer anzuordnen die uns auch nicht interessieren.
Für jede der n! Möglichkeiten nun, Treffer und Nicht-Treffer aufzureihen interessieren uns jetzt k! und (n-k)! nicht, deshalb teilt man n! durch k! und durch (n-k)! um die Anzahl der möglichen Anordnungen von Treffern und Nicht-Treffern zu berechnen.
Wenn n Gewehre feuern und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer 1/2 ist dann kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer so ausrechnen ((n k) soll der Binomialkoeffizient sein):
p = (n k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k)
Mit dem Taschenrechner oder Excel oder wenn man Zeit hat von Hand kann man ausrechnen:
W. für genau 5 Treffer bei 10 Schüssen: (10 5) * (1/2)^5 * (1/2)^5 = 252 / 1024 = 0,246... ungefähr 24,6%
Wenn man jetzt wissen will wie hoch die W. dafür ist dass mindestens 5 Schüsse treffen muss man die W.'n für 5, 6, 7, 8, 9, 10 Treffer addieren.
W. für 5 Treffer: 252/1024
W. für 6 Treffer: 210/1024
W. für 7 Treffer: 120/1024
W. für 8 Treffer: 45/1024
W. für 9 Treffer: 10/1024
W. für 10 Treffer: 1/1024
Summe: 638/1024 = 0,623... ungefähr 62,3%
Wenn man wissen will wie hoch die W. für mindestens 4 Treffer ist kommt noch die W. für 4 Treffer hinzu:
W. für 4 Treffer: 210/1024
W. für 5+ Treffer: 638/1024
Summe: 848/1024 = 0,828... ungefähr 82,8%
<div class='quotetop'>ZITAT</div>
Ich würde die Kombination der Ereignisse auch weglassen weil das sonst deutlich mehr Arbeit ist, ich wollte es nur mal erwähnen.
Wichtig ist hier der Unterschied zwischen Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit.
Drei Kolosse gegen einen Monolith:
Erwartungswert "Anzahl zerstörter Monolithen":
3 * 3/4 * 1/2 * 1/2 = 0,5625
(3 Schuss, treffen zu 3/4, Volltreffer zu 1/2, zerstört zu 1/2)
Wahrscheinlichkeit den Monolithen zu zerstören (="mindestens einer der Kolosse erzielt ein Ergebnis 'zerstört'"):
1-(1-(3/4*1/2*1/2))^3 = 0,4636... ungefähr 46,4%
(Ein Schuss zerstört zu 3/4*1/2*1/2. Zieht man das von 1 ab hat man die W. dafür dass der Schuss nicht zerstört. Das hoch 3 ist die W. dafür dass alle drei nicht zerstören. Das von 1 abgezogen gibt die W. dafür dass mindestens einer der Schüsse den Mono zerstört.)
Könnt man tlw recht einfach machen, das Problem ist, dass alles was mir dazu einfällt ziemlich viel unter den Tisch fallen lässt 😉 [/b][/quote]
😀
<div class='quotetop'>ZITAT</div>
Die Wahrscheinlichkeit dass ein Lasergewehr trifft ist 1/2. Wenn mehrere Gewehre feuern ist die Zufallsgröße "Anzahl der Treffer" binomialverteilt.
Versuch der Erklärung der Binomialverteilung (bitte notfalls überspringen):
k Gewehre treffen, wenn man nur diese k betrachtet ist die Wahrscheinlichkeit dafür (1/2)^k.
Gleichzeitig treffen aber (n-k) Gewehre (also der Rest) nicht, dafür ist die W. für sich betrachtet (1/2)^(n-k).
Multipliziert man jetzt die beiden hat man die Wahrscheinlichkeit dafür dass k Gewehre treffen und gleichzeitig (n-k) Gewehre nicht, man hat aber noch außer Acht gelassen dass die k Treffer nicht unbedingt die ersten k Schüsse waren sondern dass die k Treffer über alle n Schüsse verteilt sein können.
Um jetzt diese k Treffer auf die n Schüsse zu "verteilen" gibt es (n k) Möglichkeiten. (n k) steht jetzt doof da, man schreibt das n eigentlich über dem k wie bei einem Spaltenvektor. (n k) spricht man "n über k" oder "k aus n" und das heißt Binomialkoeffizient.
(n k) = n! / (k!*(n-k)!)
Das Ausrufezeichen ist die Fakultät. n! = 1*2*3*4*...*(n-1)*n.
Dass (n k) genau die Anzahl der möglichen Anordnungen der Treffer bei n Schüssen kann man vielleicht so einsehen:
Es gibt n! Möglichkeiten, n verschiedene Elemente in einer Reihe anzuordnen. Jetzt haben wir aber nicht n verschiedene Elemente sondern nur k "Treffer" und (n-k) "Nicht-Treffer", also nur zwei "Klassen" von Elementen die wir anordnen wollen. Wenn man sich jetzt eine beliebige Anordnung von Treffern vorstellt und sich die Nicht-Treffer wegdenkt kann man die Treffer untereinander umordnen ohne dass sich etwas ändert da wir ja zwei Treffer nicht unterscheiden können. Es gibt k! Möglichkeiten, die Treffer anzuordnen, die uns aber wurscht sind weil wir die Treffer nicht von einander unterscheiden. Ebenso gibt es (n-k)! Möglichkeiten die Nicht-Treffer anzuordnen die uns auch nicht interessieren.
Für jede der n! Möglichkeiten nun, Treffer und Nicht-Treffer aufzureihen interessieren uns jetzt k! und (n-k)! nicht, deshalb teilt man n! durch k! und durch (n-k)! um die Anzahl der möglichen Anordnungen von Treffern und Nicht-Treffern zu berechnen.
Wenn n Gewehre feuern und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer 1/2 ist dann kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer so ausrechnen ((n k) soll der Binomialkoeffizient sein):
p = (n k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k)
Mit dem Taschenrechner oder Excel oder wenn man Zeit hat von Hand kann man ausrechnen:
W. für genau 5 Treffer bei 10 Schüssen: (10 5) * (1/2)^5 * (1/2)^5 = 252 / 1024 = 0,246... ungefähr 24,6%
Wenn man jetzt wissen will wie hoch die W. dafür ist dass mindestens 5 Schüsse treffen muss man die W.'n für 5, 6, 7, 8, 9, 10 Treffer addieren.
W. für 5 Treffer: 252/1024
W. für 6 Treffer: 210/1024
W. für 7 Treffer: 120/1024
W. für 8 Treffer: 45/1024
W. für 9 Treffer: 10/1024
W. für 10 Treffer: 1/1024
Summe: 638/1024 = 0,623... ungefähr 62,3%
Wenn man wissen will wie hoch die W. für mindestens 4 Treffer ist kommt noch die W. für 4 Treffer hinzu:
W. für 4 Treffer: 210/1024
W. für 5+ Treffer: 638/1024
Summe: 848/1024 = 0,828... ungefähr 82,8%
<div class='quotetop'>ZITAT</div>
Ja, erstmal das Grundlegende, aber du wolltest doch wissen was du noch hinzufügen könntest. 🙂
Ich würde die Kombination der Ereignisse auch weglassen weil das sonst deutlich mehr Arbeit ist, ich wollte es nur mal erwähnen.
Wichtig ist hier der Unterschied zwischen Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit.
Drei Kolosse gegen einen Monolith:
Erwartungswert "Anzahl zerstörter Monolithen":
3 * 3/4 * 1/2 * 1/2 = 0,5625
(3 Schuss, treffen zu 3/4, Volltreffer zu 1/2, zerstört zu 1/2)
Wahrscheinlichkeit den Monolithen zu zerstören (="mindestens einer der Kolosse erzielt ein Ergebnis 'zerstört'"):
1-(1-(3/4*1/2*1/2))^3 = 0,4636... ungefähr 46,4%
(Ein Schuss zerstört zu 3/4*1/2*1/2. Zieht man das von 1 ab hat man die W. dafür dass der Schuss nicht zerstört. Das hoch 3 ist die W. dafür dass alle drei nicht zerstören. Das von 1 abgezogen gibt die W. dafür dass mindestens einer der Schüsse den Mono zerstört.)
